Mathematische Fakultät der TU München, Wintersemester 2005/2006
Wavelet-Orthonormalbasen haben sich in den letzten 15 Jahren als Standardwerkzeuge der Bildverarbeitung etabliert. So basiert der Bildkompressionsstandard JPEG2000 auf der Codierung von Waveletkoeffizienten.
Bei näherem Hinsehen stellt sich allerdings heraus, dass orthonormale Wavelets nicht für alle Klassen von Bildern optimal geeignet sind. Speziell wurde die mangelhafte Auflösung von Richtungsinformation festgestellt; die Tensorproduktstruktur der Waveletorthonormalbasen bevorzugt vertikale und horizontale Richtungen. Ausgehend von dieser Beobachtung wurden in den letzten Jahren eine Reihe von Alternativkonstruktionen entwickelt, die unter dem (nicht ganz ernst gemeinten) Begriff "*-let" (gesprochen " starlet ") zusammengefasst werden. Die Vorlesung soll einige dieser Konstruktionen vorstellen, und ihre Vor- und Nachteile gegenüber Wavelets diskutieren.
Bei allen in der Vorlesung behandelten Konstruktionen handelt es
sich
um Systeme von elementaren Bausteinen, mit deren Hilfe
wesentliche in realistischen Bildern auftretende
Informationsbestandteile
dargestellt oder approximiert werden soll. Wichtige Anwendungen sind Kompression
oder Entrauschen. Beide Anwendungen beruhen auf der
Fähigkeit
des Systems, wesentliche Bildinformation durch wenige Bausteine gut zu
approximieren.
Im Einzelnen sollen folgende Konstruktionen vorgestellt und
verglichen
werden:
* Wavelet-Orthogonalbasen in $L^2(\RR^2)$
* Kontinuierliche Wavelettransformation auf
$L^2(\RR^2)$
* Curvelets
* Wedgelets
Die verschiedenen Systeme sollen unter einer Reihe verschiedener
Aspekte
untersucht werden, wie etwa
* Der Konstruktion zugrundeliegende Motivation:
Nichtlineare Approximation stückweise glatter Bilder
* Diskretisierung und Implementation
* Anwendungen in der Bildverarbeitung
S.T.Ali, J.-P. Antoine, R. Murenzi, P. Vandergheynst: Two-dimensional wavelets and their relatives; Cambridge University Press, Cambridge, 2004
Desweiteren verwendet die Vorlesung eine Reihe von Originalarbeiten,
auf die noch beizeiten hingewiesen wird.
Folgende Links enthalten relevante Software, Preprints und sonstige Informationen. Einen Einstieg in die Vielzahl der Konstruktionen bietet die *let-Webseite.